Kleboniškio miškas nors ir auga labai arti miesto, tačiau yra išsaugojęs labai daug laukinio miško bruožų. Taip yra todėl, kad miško plotą iš vakarų ir šiaurės juosia Neries upė. Iš šių pusių miškas yra apsaugotas nuo lankytojų, čia gali ramiai ir netrukdomi veistis įvairūs gyvūnai. Miestiečiai dažniausiai ateina iš pietų pusės ir lankosi tik nedidelėje pietinėje miško dalyje. Nedaug žmonių nueina gilyn į mišką. Todėl miško giluma apsaugota nuo lankytojų srauto ir sukelia neliestos laukinės gamtos įspūdį.